Grafik Kemiringan Grafik Suatu Persamaan Linear

Grafik Kemiringan Grafik Suatu Persamaan Linear

A.    Pengertian Grafik Kemiringan Grafik Suatu Persamaan Linear

Grafik Kemiringan Suatu Persamaan Linear adalah Perbandingan antara komponen y (ordinat) dan komponen x (absis) antara dua titik pada garis itu. Kemiringan disebut juga dengan gardien (m).

B.     Menentukan Kemiringan Grafik Suatu Persamaan Linear

Ada beberapa kondisi yang perlu diperhatikan dalam menentukan persamaan garis lurus. Diantaranya kemiringan (gradien), titik yang dilalui garis tersebut serta kedudukannya dengan garis lain (sejajar atau saling tegak lurus). Berikut ini adalah beberapa cara yang dapat digunakan dalam menentukan persamaan garis lurus sesuai dengan ciri-ciri yang diketahui berhubungan dengan garis tersebut.  

1.      Jika diketahui kemiringan (m) dan melalui satu titik (x₁, y₁)

Dalam menentukan persamaan garis lurus yang diketahui  kemiringan atau gradiennya (m) serta satu titik (x₁,y₂) yang dilaluinya, kita dapat menggunakan formula berikut:

y - y₁ = m (x – x₁)

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 3) dan bergradien 2

Jawab:

(1,3) sehingga x₁ = 1 dan y₁ = 3

m = 2
y – y₁ = m (x – x₁)
y – 3 = 2(x – 1)
y – 3 = 2x – 2
y = 2x – 2 + 3
y = 2x + 1

2.      Jika diketahui melalui dua titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂)

Sebuah garis, dapat dilukis apabila minimal diketahui dua buah titik yang dilaluinya. Sama seperti halnya dengan melukis garis lurus pada bidang cartesius, suatu persamaan garis lurus dapat ditentukan apabila diketahui dua buah titik yang dilaluinya (x₁, y₁) dan (x₂, y₂). Dalam menentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik kita dapat menggunakan formula:

           

Contoh:

       Tentukan persamaan garis yang melalui titik A (3,-2) dan titik B (-1,3)

Jawab:
     A (3,–2)  maka x₁ = 3 dan y₁ = -2
     B (-1, 3)  maka x₂ = -1 dan y₂ = 3
        

3.    Jika diketahui melalui titik (x₁, y₁) dan sejajar dengan garis lain

Ciri dua buah garis atau lebih yang saling sejajar adalah mempunyai kemiringan atau gardien yang sama. Dalam kasus dimana diketahui melalui satu titik (x₁, y₁) dan sejajar garis lain, kita dapat menentukan persamaan garisnya dengan menentukan gradien garis yang diketaahui terlebih dahulu. Kemudian kita dapat menentukan gradien garis yang sedang kita cari.

Dimana syarat dua garis sejajar adalah m₁ = m₂ atau m₂ = m₁.Dengan m₁ adalah gradien garis yang sejajar dengan garis yang kita cari sedangkan m₂  adalah gradien garis yang kita akan cari persamaannya. sehingga, persamaan garis yang kita cari adalah persamaan garis lurus yang melalui titik (x₁, y₁) dan mempunyai kemiringan atau gradien (m₂), yang dapat kita tentukan dengan formula :

y - y₁ = m₂(x – x₁)

Contoh:

     Tentukan persamaan garis yang melalui titik A (-2,3) dan sejajar garis y = -x-5

Jawab:

     y = -x – 5 maka m₁ = -1

     karena garis sejajar maka m₂ = m₁ = -1

     A (-2, 3) maka x₁ = -2 dan y₁ = 3
y - y₁ = m₂ (x – x₁)
y – 3 = -1 (x – (-2) )
y – 3 = -x – 2
y = -x + 1

4.       Jika diketahui melalui titik (x₁, y₁) dan tegak lurus dengan garis lain

       Apabila persamaan garis yang kita akan cari melalui suatu titik (x₁, y₁) dan tegak lurus dengan garis lain kita harus memeahami bahwa syarat dua garis lebih tegak lurus adalah hasil perkalian gradiennya adalah -1.

m₁ x m₂ = -1 atau

       Dengan m₁ adalah gradien garis yang sejajar dengan garis yang kita cari. Sedangkan m₂ adalah gradien garis yang kita akan cari persamaannya. Sehingga, kita dapat menentukan persamaan garis tersebut dengan formula:

            y - y₁ = m₂(x – x₁)

Contoh:

       Tentukan persamaan garis yang melalui titik A (1,4) dan tegak lurus dengan garis 2x – 5y = 6

Jawab:

2x – 5y = 6 maka m₁ = 

Karena garis tegak lurus maka

A (1, 4) maka x₁ = 1 dan y₁ = 4
y - y₁ = m2 (x – x₁)
y – 4 = (5/2) (x – 1)
2 (y – 4) = 5 (x – 1)
2y – 4 = 5x – 5
2y = 5x -1

C.    Menerapakan Konsep Kemiringan Untuk Menyelesaikan Masalah Dalam Kehidupan Sehari-Hari

            Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bidang-bidang yang menggunakan aplikasi persamaan garis lurus. Misalnya: perhitungan kecepatan, jarak dan waktu dalam fisika dan perhitungan harga barang dan titik impas dalam ekonomi.

       Contoh:

1.      Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap 15 km/jam, mobil tersebut menempuh jarak 45 km. Berapa lama waktu yang diperlukan mobil tersebut untuk menempuh jarak 90 km?

2.      Harga dua buah permen dan tiga buah cokelat adalah Rp. 800.000. Adapun

      Harga sebuah permen dan lima buah cokelat adalah Rp. 1.100.000.

      Tentukan :

a.       Harga sebuah permen

b.      Harga sebuah cokelat

c.       Harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat

Jawab:

1.      coba permisalkan gambar yang yang merupakan bagian dari contoh soal kecepatan, jarak dan waktu. Titik A (15,1) merupakan kecepatan mobil, yaitu 15 km/jam. Titik koordinat B (45,3)  merupakan jarak dan dan waktu tempuh mobil yang diketahui, yaitu 45 km dalam waktu 3 jam. Dari titik A dan  B dapat ditarik garis lurus sehingga diperoleh penyelesaian bahwa untuk menempuh jarak 90 km, mobil memerlukan 60 jam.

2.      Untuk menjawab soal ini dapat dilakukan dengan cara-cara sebagai berikut: 

·         Menggunakan pemisahan untuk nama benda. Misalkan: permen = x dan cokelat = y

·         Terjemahkan kedalam model matematika

2 permen + 3 cokelat = Rp.800,00 berarti 2x + 3y = 800
1 permen + 5 cokelat = Rp1100,00 berarti x + 5y = 1.100

·         Ambil salah satu persamaan dan ketentuan salah satu variabelnya.
x + 5y = 1.100 maka x = 1.100 – 5y.

·         Substitusikan nilai x ke dalam persamaan yang lain
2x + 3y = 800
2 (1.100 – 5y) + 3y = 800
   2.200 – 10y + 3y = 800
             2.200 – 7y = 800
                        –7y = 800 – 2.200
                        –7y = –1.400
                            y = 200

·          Substitusikan nilai y ke dalam salah satu persamaan.
x + 5y = 1.100
x + 5 (200) = 1.100
  x + 1.000 = 1.100
               x = 1.100 – 1.000
               x = 100

Dengan demikian, diperoleh:
a. Harga sebuah permen = x = Rp.100,00
b. Harga sebuah cokelat = y = Rp.200,00
c. Harga 4 buah permen dan 1 buah cokelat = 4x + y = 4 (Rp100,00) +     (Rp200,00) = Rp.600,00